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順列、組み合わせのマスター方法

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皆さんは順列、組み合わせの原理が分かりましたか。順列や組み合わせが分からないと、今後勉強する「確率」でつまずくので、この記事を参考にして見直しましょう。

数え上げの原理

1:定理

実験が2回行われるとする。1回目の実験ではm通りの結果のうちの1つが起こり,2回目の実験では、1回目のそれぞれの結果に対し,n通りの結果が起こるとき、2つの実験の結果として,m×n通りの結果が起こる。

2:例題

実験が二回行われ、一回目ではサイコロを振り、二回目ではメダルを振るとき,二つの結果は何通りであるか。

考え方

サイコロは六面あるので、6通り。メダルは表、裏があるので2通り。

よって、6×2=12通り。

3:演習問題

サイコロを二回振る。一回目では偶数、二回目では1が出るとき、二つの結果は何通りであるか。

考え方

偶数は2,4,6より3通り、1は1通り。

よって3×1=3通り。

順列

1:定理

いくつかのものを1列に並べるとき、その並びの1つ1つを順列といい、異なるN個から異なるR個取る順列の総数は

=N(N-1)(N-2)・・・(N-R+1)

2:演習例題

=6・5・4・3=360

=6!=6・5・4・3・2・1=720

3:問題

7人の生徒の中から4人選ぶとき、何通りであるか。

考え方

N=7人、R=4人より

=7・6・5・4=840通り

4:円順列

物を円形に並べるの順列を円順列といい、(N-1)!通りである。

4人の生徒を円形の机に並べた場合、(4-1)!=3・2・1=6通りである。

組み合わせ

1:定理

モノを取り出す順序を無視した組みを作るとき、これらの組の1つ1つを組み合わせといい、異なるN個から異なるR個を取り出す組み合わせの総数は

=

2:例題

=(6・5)/(2・1)=15

=15

=(6・5・4・3・2・1)/(6・5・4・3・2・1)=1

3:演習問題

6人を2組に分けるとき、分け方は何通りあるか。

考え方

6人をa,b,c,d,e,fとすると、1組目にはa,b,cの3人、2組目には残りの3人(d,e,f)に分けられるから

={(6・5・4)/(3・2・1)}×{(3・2・1)/(3・2・1)}=120通り

おわりに

今回の記事は、数えあげの原理、順列、組み合わせの重要部分を紹介しました。その他の部分は、教科書の演習問題や参考書で、特に文章問題を通して計算の仕方をマスターして、テストで高得点を取れるように勉強しましょう。

(photo by 足成)

(キャプチャ by 著者)

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